Kolmannen Asteen Yhtälö - Ensimmäisen Asteen Yhtälö Sulut
Jos kaikki kertoimet a, b, c ja d ovat reaalilukuja ja diskriminantti positiivinen, on yhtälöllä vain yksi reaalinen ratkaisu, josta on edellä käytetty merkintää x 1. Ratkaisut x 2 ja x 3 ovat tällöin kompleksilukuja, jotka ovat toistensa liittolukuja. Mikäli diskriminantti on negatiivinen, on neliöjuuresta saatu luku imaginääriluku. Tällöin molempien ratkaisukaavassa esiintyvien kuutiojuurten sisällä on kompleksiluku, jonka juuren ratkaisemiseksi tarvitaan De Moivren kaava a. Nämä kuutiojuuret ovat kuitenkin toistensa liittolukuja, minkä vuoksi niiden summa on reaaliluku. Tässä tapauksessa yhtälöllä on siis kolme reaalista ratkaisua (edellyttäen, että kertoimet ovat reaalilukuja). Lähteet [ muokkaa | muokkaa wikitekstiä] Aiheesta muualla [ muokkaa | muokkaa wikitekstiä] Ohjelma, joka antaa 2., 3. ja 4. asteen yhtälön ratkaisut, kun siihen syötetään kertoimet
Ensimmäisen asteen yhtälö sanallinen
Jos:nnen asteen polynomilla on nollakohtaa, niin Polynomilla, jonka asteluku on, on enintään reaalista nollakohtaa, joten:nnen asteen yhtälöllä on korkeintaan reaalijuurta. Korkeamman asteen yhtälön ratkaisemiseen tarvittu polynomin jakaminen tekijöihin vaatii siis ainakin yhden nollakohdan löytämistä. Nollakohdan voi onnistua löytämään arvaamalla tai kokeilemalla. Polynomin rationaalisten nollakohtien etsimistä helpottaa seuraava tulos: Jos kokonaislukukertoimisella yhtälöllä on rationaalinen ratkaisu, niin osoittaja on vakiotermin tekijä ja nimittäjä on korkeimman asteen termin kertoimen tekijä. Huom! Tulos sopii myös murtolukukertoimisen yhtälön rationaaliratkaisujen etsimiseen. Kun yhtälöstä poistetaan nimittäjät kertomalla se nimittäjien pienimmällä yhteisellä jaettavalla, saadaan alkuperäisen kanssa yhtäpitävä kokonaislukukertoiminen yhtälö. Esimerkki 2. 15. Ratkaise yhtälö Kirjoitetaan yhtälö ensin perusmuotoon: Jaetaan polynomi tekijöihin etsimällä ensin kokeilemalla yksi yhtälön ratkaisu.
Toisen asteen haku
- Kolmannen asteen yhtälö nollakohdat
- Kolmannen asteen yhtälö laskin
- Ensimmäisen asteen yhtälö murtoluku
- Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava
- Kolmannen asteen yhtälö jakokulma
- Toisen asteen
